Погрешности измерений, их классификация и причины возникновения

Практикой различного рода измерений установлено, что резуль­таты измерений не совпадают со значениями измеряемых величин, т. е. содержат погрешности. Более того, выполненные измерения од­ной и той же величины в общем случае также отличаются друг от дру­га, т. е. в каждом измерении есть погрешность. Обобщение опыта из­мерений приводит к выводу, что получаемые результаты характеризу­ют физические величины с некоторым приближением к их истинным значениям. Качество измерений характеризуется точностью полу­ченных результатов, отражающей их близость к истинному значению измеряемой величины. Таким образом, результатом измерения долж­ны быть полученное значение физической величины, характеризую­щей количественную сторону процесса, и его точность, определяю­щая качество измерений. Отклонение результата измерения величи­ны х,- от ее точного значения х называют истинной погрешностью Δ из­мерения, т. е.

Δ=х_i-x

Измерения выполняют при наличии определенных условий, влияющих на их точность. При этом процесс измерений характеризу­ется рядом факторов, среди которых выделяют: объект измерений, субъект измерений, технические средства, методы измерений и внешнюю среду. Различают следующие погрешности: объекта изме­рений, связанные с изменением измеряемой величины в процессе из­мерений, неоднородностью объекта измерений, его нечеткими гра­ницами; личные, зависящие от квалификации оператора (исполни­теля измерений) и его психологических особенностей; инструмен­тальные, возникающие ввиду невозможности точной юстировки мерного прибора и ограниченности его точности; методы измерений, обусловленные упрощением используемых формул и процессов из­мерения; внешние, обусловленные влиянием температуры, влажно­сти, освещенности, вибрации и других величин. Любой результат из­мерения содержит сложную суммарную погрешность, состоящую из большого количества элементарных погрешностей, порождаемых влиянием перечисленных факторов измерений. Измерения считаются равноточными, если все перечисленные факторы и их влияние на процесс измерений примерно одинаковы в течение всего периода производства измерений. При неодинаковых факторах результаты будут неравноточными. Они также будут неравноточными, если усло­вия измерений, характеризуемые рассмотренными выше пятью фак­торами, будут различаться хотя бы по одному из них.

Все элементарные погрешности измерений классифицируют по двум признакам: источнику происхождения (инструментальные, внешние и личные) и характеру их действия (грубые, систематиче­ские, случайные). Грубыми погрешностями называют такие, которые по своей абсолютной величине превосходят установленный для дан­ных условий измерений предел. Они резко отклоняют результаты из­мерений от действительных значений измеряемых величин и должны обязательно своевременно исключаться. Причиной возникновения грубых погрешностей может оказаться любой из пяти факторов изме­рений. Чаще всего к такого рода погрешностям относятся промахи в измерениях, вызванные невнимательностью наблюдателя, неисправ­ностью инструмента или неучетом влияния внешней среды, которым нельзя пренебречь. Поскольку исполнитель должен своевременно принимать меры к их недопущению, то естественно, грубые погреш­ности следует относить к категории личных. Задача исполнителя со­стоит в организации контроля работ для своевременного устранения из результатов грубых погрешностей. Наиболее действенным мето­дом обнаружения грубых погрешностей является выполнение кон­трольных измерений тем же инструментом или иным, но той же точ­ности. Поэтому измеряемые расстояния откладывают как минимум дважды.

Но в измерениях всегда остаются погрешности иного рода: систе­матические и случайные. Систематические погрешности носят так называемый правильный характер, когда при повторных измерениях они либо остаются без изменений, либо изменяются по какому-то оп­ределенному закону, либо, изменяясь случайным образом, сохраня­ют постоянство своего знака. Соответственно различают три вида систематических погрешностей измерения: постоянные, перемен­ные и односторонне действующие. Так, примером постоянной по­грешности может служить погрешность измерения ширины колеи подкранового пути, вызванная погрешностью компарирования ру­летки, а односторонне действующей — погрешность измерения шири­ны колеи пути, возникающая из-за неперпендикулярности полотна рулетки, оси подкранового пути. Некоторые систематические по­грешности можно устранить из результатов измерения, применив со­ответствующие методы измерений.

Δx=x_a-x_b необходимо найти площадь, ограниченную кординатами х=a и x=b 

Эта площадь пропорциональна плотности вероятности для интервала Ах.

Если значение случайной величины формируется под действием большого числа взаимно независимых факторов, можно ожидать рас­пределения по так называемому нормальному закону (рис. 3.2). Наи­большая плотность вероятности при нормальном распределении со­ответствует среднему значению х. По мере того как возрастают откло­нения от средней величины, плотность вероятностей быстро убывает. При беспредельном удалении вправо и влево кривая плотности веро­ятностей асимптотически приближается к оси абсцисс. Для дискрет­ных величин определяют дисперсию

где х — среднее арифметическое значение величины; n — число эле­ментов в выборке.

Если изучается не вся совокупность явлений, а определенная вы­борка, то дисперсию вычисляют по формуле

где m — число выборочных точек, попавших в i-й интервал.

Для характеристики рассеяния чаще всего пользуются средне- квадратическим отклонением ст, которое представляет собой значе­ние квадратного корня из дисперсии, взятое с положительным зна­ком. Для выборочных данных используют понятие стандартного от­клонения (стандарта). Среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. На рис. 3.3 изображены кривые нормального распределения с разными относительными зна­чениями а. Чем меньше ст, тем меньше рассеяние случайной величи­ны относительно среднего значения. Среднеквадратическое откло­нение σ соответствует точкам перегиба кривой нормального распре­деления: внутри промежутка

(-σ...+σ)

кривая обращена выпукло­стью вверх, а вне этого промежутка — вниз. Площадь под кривой нормального распределения, заключенная в промежутке ±σ выра­жается интегралом вероятностей Ф(х). Этот интеграл представляет вероятность того, что отклонение случайной величины от среднего или математического ожидания будет находиться внутри определен­ных пределов (— х... + х). Значения интеграла вероятностей находят из таблиц вероятностей. Для интервала отклонений  (— σ... + σ) интеграл вероятности равен 0,683, для интервала  (— 3σ... + 3σ)- 0,997

Таким образом, в пределах ут­роенного отклонения в ту и другую сторону от среднего значения рас­полагается более 99 % всех случаев, а именно 997 из 1000.

Точность измерений выражает степень близости полученных ре­зультатов измерений к действительному значению измеряемой вели­чины. Вследствие случайных погрешностей измерений эта близость различна для разных результатов, поэтому точность измерений ха­рактеризуют некоторой средней величиной случайной погрешности. Казалось бы, естественно взять для этого среднее арифметическое из всех случайных погрешностей. Однако при этом на величину средней случайной погрешности влияли бы разные знаки отдельных погреш­ностей, и могло бы случиться, что ряд с более крупными погрешно­стями получил бы меньшую среднюю погрешность, чем другой ряд с меньшими погрешностями. Если же составить среднее арифметиче­ское из абсолютных значений случайных погрешностей, то при этом не будет достаточно четко отражено наличие в данном ряду отдель­ных, сравнительно крупных погрешностей. Естественно считать, что чем крупнее в данном ряду отдельные погрешности, тем ниже точ­ность измерения. Исходя из этих соображений, целесообразно уста­новить такой критерий точности измерений, который не зависел бы от знаков отдельных погрешностей и более рельефно отражал бы от­дельные, сравнительно крупные погрешности. Этим требованиям удовлетворяет среднеквадратическая погрешность S, которая и слу­жит мерой точности измерений:

Поскольку истинное значение измеряемой величины никогда не бывает известно, то, используя результаты многократных измерений, среднеквадратическую погрешность отдельного измерения обычно определяют по формуле

где у,- — разность между измеренным и средним арифметическим зна­чением х_т. При этом контролем правильности вычисления и средне­го арифметического служит равенство Е v,. = 0, которое полностью соблюдается, если значение х получено без округления. Точность среднего арифметического^, вычисленного по числу п равноточных измерений, будет в 4п раз выше точности отдельно взятого измере­ния. В нормативно-технической документации требуемую точность измерений чаще характеризуют предельной погрешностью 5x_sup, т. е. той наибольшей погрешностью, которую можно допустить при дан­ных условиях измерений. Зависимость между предельной и средне- квадратической погрешностями можно выразить уравнением

δx_sup=tσ

где t — величина, устанавливаемая в зависимости от допускаемой ве­роятности

σ— теоретическое значение (стандарт) среднеквадрати- ческой погрешности. Погрешности, по абсолютной величине превы­шающие 5x_sup, принято считать грубыми, и соответствующие им ре­зультаты измерения отбраковывать.

Необходимо отметить, что получаемая путем вычисления средне- квадратическая погрешность S_x является приближенным значением стандарта а, что особенно заметно при небольшом числе измерений (табл. 3.1). Приближенная оценка точности определения самой по­грешности S выражается формулой S_s=S√/2n

На основании этой зависимости в табл. 3.1 приведена относительная погрешность опре­деления S, выраженная в процентах в зависимости от числа измере­ний п. Как видно из таблицы, среднеквадратические погрешности, вычисленные по малому числу измерений, содержат заметные по­грешности. Например, при числе измерений п = 2 погрешность оп­ределения составит половину ее величины. Поэтому при практиче­ских расчетах среднеквадратическую погрешность достаточно вы­числить с двумя значащими цифрами. При этом рекомендуется со­вместная запись полученного результата измерения и его средне

квадратической погрешности S_x или х ± S_x или х_т ± Sx_m, которую сле­дует читать так: «полученный результат измерения с точностью, ха­рактеризующейся среднеквадратической погрешностью». Поскольку ^получено, как правило, по ограниченному числу измерений и при­ближенно характеризует стандарт <т, то для определения действитель­ного предельного отклонения 5х_пр рекомендуется использовать зави­симость 5х_nр - tS_x. При n < 20 для обеспечения заданной вероятности Р= 0,9973 коэффициент зависящий от числа дополнительных из­мерений (и - 1), следует выбирать по табл. 3.2. При этом запись ре­зультата измерения и его точность, выраженную в данном случае пре­дельной погрешностью, целесообразно представлять в форме интер­вальных оценок х- х_m ± tSx_m.

Таблица 3.1. Определение относительной погрешности измерений